2005年全国硕士研究生入学考试 

数学二考试大纲 

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数　学　二　　

　　[考试科目]  

　　高等数学、线性代数 

高等数学

　　一、函数、极限、连续

　　考试内容

　　函数的概念及表示法　函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性　复合函数、反函数、分段函数和隐函数　基本初等函数的性质及其图形　初等函数　简单应用问题的函数关系的建立  数列极限与函数极限的定义及其性质　函数的左极限与右极限　无穷小和无穷大的概念及其关系　无穷小的性质及无穷小的比较　极限的四则运算　极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则　两个重要极限 :


　函数连续的概念　函数间断点的类型　初等函数的连续性　闭区间上连续函数的性质 

　　考试要求 

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 

2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．  

　　3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．  

　　4.　掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念。  

　　5.　理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 

　　6．  掌握极限的性质及四则运算法则 

　　7．  掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 

　　8．  理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限． 

　　9．  理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 

　　10．  了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．  

　　 

　　二、一元函数微分学

　　考试内容。  

　　导数和微分的概念　导数的几何意义和物理意义　函数的可导性与连续性之间的关系　平面曲线的切线和法线　基本初等函数的导数　导数和微分的四则运算　复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法　高阶导数　一阶微分形式的不变性　微分中值定理　洛必达（L’Hospital）法则　函数的极值　函数单调性的判别　函数图形的凹凸性、拐点及渐近线　函数图形的描绘　函数最大值和最小值　弧微分　曲率的概念　曲率半径

　　考试要求

　　1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．  

　　2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．  

　　3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．  

　　4. 会求分段函数的一阶、二阶导数．  

　　5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．  

　　6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解柯西中值定理．  

　　7．  理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．  

　　8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．  

　　9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．  

　　10．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．  

　　三、一元函数积分学

　　考试内容

　　原函数和不定积分的概念　不定积分的基本性质　基本积分公式　定积分的概念和基本性质　定积分中值定理　积分上限的函数及其导数　牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式　不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法　有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分　广义积分  定积分的应用

　　考试要求

　　1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念．  

　　2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．  

　　3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．  

　　4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．  

　　5．了解广义积分的概念，会计算广义积分．  

　　6．了解定积分的近似计算法．  

　　7．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值．  

　　四、多元函数微积分学

　　考试内容

　　多元函数的概念　二元函数的几何意义　二元函数的极限与连续的概念　有界闭区域上二元连续函数的性质　多元函数偏导数的概念与计算　多元复合函数、隐函数求导法　二阶偏导数　多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值　二重积分的概念、基本性质和计算

　　考试要求

　　1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。

　　2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。

　　3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

　　4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，会求解一些简单的应用题。

　　5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。　　

　　五、常微分方程  

　　考试内容

　　常微分方程的基本概念　　变量可分离的微分方程　齐次微分方程　一阶线性微分方程　　可降阶的高阶微分方程　线性微分方程解的性质及解的结构定理　二阶常系数齐次线性微分方程　高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程　简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 　微分方程简单应用

　　考试要求

　　1．了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念．  

　　2．掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。  

　　3．会用降阶法解下列方程：y（n）＝f（x），y''= f（x，y'）y＝f''（y，y'）．  

　　4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．  

　　5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

　　6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．  

　　7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．