这里讲的微积分学的应用的将只限于微分学与积分学在几何、物理和经济方面的应用，不包括微分方程等部分的应用，同时也排除了微分学与积分学在讨论函数的零点与方程的根，以及在等式与不等式证明方面的应用。

再有一点需要说明的是，本节大部分内容将主要是方法的小结，只举少量例题帮助深入理解。 

本讲包括四个部分的内容，即：一元与二元函数微分学的几何应用；一元与二元、三元函数积分学的几何及物理应用；一元与二元、三元函数的极值及最大、最小值问题；最后是经济方面的应用。

一、微分学的几何应用

1、平面曲线的切线与法线

（1）用显式方程表示的平面曲线。设平面曲线C的方程为y＝f(x)()，则曲线C在M₀（x₀，f(x₀)）处的切线方程为：

 (2)用参数方程表示的平面曲线.设平面曲线C的参数方程为：x=x(t)，y=y(t)()则C在点M₀(x(t₀)，y(t₀))处的切线方程为：

 (3)用极坐标表示的平面曲线．设平面曲线C的极坐标方程为r，，则C的参数方程为：

，  

由此即可写出C的切线与法线方程。

(4)用隐式方程表示的平面曲线．设平面曲线C的隐式方程为f(x,y)＝0，其中f(x,y)具有连续的一阶偏导数，则曲线C在点M₀(x₀,y₀)处的切线方程为：

2．曲面的切平面与法线

    (1)用隐式方程表示的曲面。设曲面S的隐式方程为F(x，y，z)＝0，M0(X0，y0，z0)为S上的一点，则S在M0点的切平面方程为：

    (2)用显式方程表示的曲面。设曲面S：z＝f(x,y)，Mo(x0,y0,z0)是S上的一点，z0=f(x0,y0)，则曲面S在点M0处的切平面方程为

3、平面曲线的曲率与曲率半径

设曲线C的参数方程为x=x(t),y=y(t)，则曲率

若曲线C的表示式为y=y(x)，则

而曲率半径R＝

二、积分学的几何应用

1．平面图形的面积

注  (1)直角坐标系中平面图形的面积公式及极坐标系中的平面图形面积的计算是众所周知的，故从略；这里只给出曲边梯形面积的计算，由梯形的曲边由参数方程，给出时，而且符合条件，则：

这里要有连续的导数，且不变号，连续。

 (2)平面图形的面积也可以通过二重积分计算，此时被积函数取1，即

    (3)利用第二类曲线积分也能够计算平面图形的面积。设有界闭区域D由分段光滑曲线L

围成，则D的面积：

其中L取正方向，这一结论可由格林公式得到。

2．曲线的弧微分与弧长

这里只讲述平面曲线的弧微分与弧长的计算方法，空间曲线的计算是类似的．

(1)设平面曲线AB的参数方程为x=x(t)，y=y(t)()，则弧微分

弧长

这里要x(t),y(t)在[α,β]上导数连续，且

    (2)设平面曲线AB的表示式为y=y(x)，则弧微分为,弧长，其中夕(1)具有连续的导数

    (3)假定平面曲线AB的极坐标方程为r＝r(θ)(α≤θ≤β)，因此其参数方程为,(α≤θ≤β)，根据参数方程中弧微分表示式，即得：，其中在上有连续的导数。

以上是用定积分计算弧长，此外，当被积函数为1时，第一类曲线积分所表示的也是弧。

3．立体的体积

  空间有界封闭区域的体积计算一般使用二重积分，其方法与使用定积分计算面积相似，除此之外，也可以使用三重积分计算体积，第二类曲面积分计算体积，这些都与平面图形面积的计算相类似。除了以上三种方法之外，在两种特殊情况下还可以使用定积分计算体积，这两种情况就是：

 (1)已知平行截面面积求体积。设空间某立体介于平面x=a与x=b之间，并且垂直于x轴的平面截该立体所得截面面积S(x)为已知连续函数，则该立体的体积

 (2)旋转体的体积。连续曲线：y＝f(x)与x=a,x=b轴所围成的曲边梯形绕工轴旋转一周，所得到的旋转体，其体积为

4、曲面面积

(1)旋转体的侧面积

旋转体仍如前面所叙述一样，则其侧面积

其中f(x)应具有连续的导数。

若曲线以参数方程表示为：x=x(t),y=y(t)其中x(t),y(t)在[α,β]上有连续的导数。特别，若以弧长为参数，则其中l叫曲线的弧长；若以极角θ为参数，曲线表示为，则。

(2)一般曲面的面积

设曲面S由方程z＝f(x,y)给出，其中D为S在Oxy平面上的投影，f(x,y)有连续的偏导数，则曲面S的面积

其中为法向量与z轴正方向的夹角。

 另外，第一类曲面积分当其被积函数为1时，其积分值即为曲面面积。