一、一元函数积分学的物理应用

1、液体的静压力

在液面下深度为h处，由液体重量所产生的压强等于它的深度h与液体密度的乘积，即，并且在同一点的压强在各个方向都是相等的。

设一薄板垂直置放在均匀的静止的液体中，则薄板所承受的压力为

其中，函数y=f(x)表示坐标为x时薄板的宽度。

2、引力

在积分的应用中学会微元分析法将会受益匪浅，因为这样就能利用积分的方法解决各种问题，包括熟悉的和生疏的，而且可以处理得比较简单。例如：质量分别为m₁与m₂，相距为r的两质点间的引力大小为

其中k为引力常数，引力沿着两质点的连线方向。那么，在x轴上位于[-l,l]之间密度为的细棒对位于M(0，1)处质量为m的质点的引力应该如何计算呢?首先，由于细棒是对称的，因此在J轴方向的分力互相抵消，只需计算在y轴方向的分子的合力。这个合力就可以采用微元分析法计算。即在x轴上取一小段[x,x+dx]，近似地将其看成质点，也就是一个质量微元，其质量为，与M点的引力在y轴方向的分力即为

将所有这样的微元相加，即得合力为

读者可以试一试，如果采用定积分的典型方法，即“分割、求和、取极限”，所得到的结果是一样的，而微元分析法则是这样一种方法的简化。

3、变力作功

设一物体沿x轴运动，在运动过程中始终受到力F的作用，力F的方向或与x轴相一致(此时F取正值)，或与Ox轴的方向相反(此时F取负值)．若物体在x点所受的力为F(x)，则物体从a移到b时，变力F(x)所做的功为

这一结果也可以采用微元分析法得到，具体做法就是在[a,b]上取一小段[x,x+dx]，认为在这一小段上力F(x)是不变的，因此，功dF=F(x)dx，相加即得上式。

二、多元函数积分学的物理应用

1．质量

在平面直角坐标中，平面簿片占据区域D，而密度为，则质量：

2．功的计算

    质点M在变力F(x,y,z)＝(P(x,y,z)，Q(x,y,z),R(x,y,z,))作用下沿曲线C由A点

运动到B点，则力F对质点M所做的功

对于平面的情形为平面上的第二类曲线积分，对于直线的情形为定积分。

3．流量的计算

    流体在空间流动，流速为

v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

则流体通过定向曲面∑的流量(从∑的反面流向正面)

其中n＝()为曲面的单位法向量．

    评注  前面已讲过学会微元分析法对使用积分工具计算各种几何量、物理量是大有好处的。但是，掌握微元分析法首先还是要把最简单的情况下如何计算相应的量搞清楚。比如：流量的计算、首先就要清楚流速为常向量，并且通过平面的流量为v·nS，这样才清楚曲面面积微元上的流量近似为v·ndS。同样地，变力作功的计算，就要先搞清质点沿直线运动，常力所作的功为F．S，这样才清楚变力在小曲线段上所作功的近似值为F.dS(T为曲线的切向量)。其他的，如引力、转动惯量、压力、体积、面积等都是如此。

三、一元函数极值的判定与最大、小值问题

1．极值的必要条件

    若F(x,y)在(a，b)内可导并在x₀(a，b)取极值，则的点叫驻点或稳定点。

2．极值的充分条件

    (1)若x0为f(x)的驻点，且x<x₀时,≥0，x>x₀时≤0，则x₀为极大值点；若x<x₀时≤0，x>x₀时≥0，则x₀为极小值点。

    (2)若x₀为f(x)的驻点，则当<0时，x₀为极大值点；>0时，x₀为极小值点。

    最大值是在极大值、不可导的点上的函数值及f(x)的端点值进行比较中找到的，最小值的求法是类似的。

四、多元函数的极值与最大、小值问题

1、多元函数的无条件极值

    无条件极值就是普通极值，它是相对于条件极值而言的．

2、极值的必要条件

    若f(x，y)在区域D内可偏导，并在点M₀(x₀，y₀)达到极值，则．同样地，满足这种条件的点称为驻点或稳定点．

3、极值的充分条件

    设M₀(x₀，y₀)为函数f(x，y)的驻点，且记，,则有：

    (1)若AC－B²>0，则当A<0时，M₀为极大值点；当A>0时，M₀为极小值点；

    (2)若AC－B²<0，则M₀不为极值点；

    (3)若AC－B²＝0，M₀是否为极值点待定。

五、经济应用

  高等数学在经济方面应用较多的是求极值，这应该是与经济上追求最大效益分不开的。为搞清如何解决经济应用问题，首先应了解几个常用的经济函数。

1、需求函数

  市场上对某种商品的需求量取决于消费者的收入、价格，以及相关商品的价格等多种因素。为简化讨论，常认为需求量q仅依赖于价格户，即

q＝f(p)

这一函数经常是单调递减的，其反函数称为价格函数。

2、供给函数

    厂商对某种商品的供给量也可以认为是价格的函数，即，不过它往往是单调递增的，说明价格越高供给量越大。

    在市场经济条件下，经济规律的作用是促使供求趋于平衡的，即

这时称为均衡价格。

3、成本函数

    成本常分为固定成本与可变成本两部分，即

C=C(x)=C₀+C₁(q)

这里q为产量。与成本函数相关的还有平均成本与边际成本。

4、收益函数与利润函数

收益即厂商销售产品的收入，实际上就是R＝pq即价格与销售量之积。利润是收益与成本之差，即

L＝R－C

    厂商的追求的目标也是多种多样的，如市场占有率就是一种，但是，利润最大应该是厂商追求的主要目标。若记R＝R(g)，C=C(q)，则使利润达到最大的必要条件是

即边际收益等于边际成本。